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ポアソン分布 (poisson distribution) は平均値 \(\lambda>0\) を唯一のパラメータとする離散確率分布ですが、これをガンマ分布 (gamma distribution) で混合してみることを考えます。つまりポアソン分布を \(p(x|\lambda)\)、

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、ガンマ分布を \(q(\lambda|a,b)\) として、\begin{align*}r(x|a,b):=\int_0^\infty p(x|\lambda) q(\lambda|a,b)d\lambda\end{align*}を計算すると何が起こるのか、という話です。

確率変数を「サイコロをふる」ことに例えれば、上の積分で書かれている離散確率分布 \(r(x|a,b)\) は、まずはじめにガンマ分布のサイコロを振って平均値を求め、その平均値を使ったポアソン分布のサイコロをふる、という二段階でランダムな値が決定される HAAN WHEELS ハーンホイール ホイール本体 フロント・リアモタードコンプリートホイール F3.50-R5.00/17インチ カラー:ブルー カラー:ブロンズ ALL SX&SXF&EXC MODELS(02-13)、ということです。これが確率分布を混合するということのイメージでしょうか[1]

さて、混合の結果、\(r(x|a,b)\) は負の二項分布 (negative binomial distribution) になります。負の二項分布は(いろいろなパラメータ化があるけども)\[r(x|a,p)=\begin{pmatrix}x+a-1\\a\end{pmatrix}\,\,p^x(1-p)^a\]という感じで定義される離散分布です。\(a\) は一般には正の整数で \(p\) は確率値です。

この証明は以下の通り。ポアソン分布は\begin{align*}p(x|\lambda)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\end{align*}で、ガンマ分布は\begin{align*}q(\lambda|a,b)=\frac{b^a}{\Gamma(a)}\lambda^{a-1}e^{-bx}\end{align*}です(\(\Gamma(\cdot)\) はガンマ関数)。これを直接計算すると\begin{align*}
r(x|a,b)
&=\int \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\frac{b^a}{\Gamma(a)}\lambda^{a-1}e^{-b\lambda}d\lambda\\
&=\frac{b^a}{x!\Gamma(a)}\int\lambda^{x+a-1}e^{-\lambda(1+b)}d\lambda\\
&=\frac{b^a}{x!\Gamma(a)}\int\bigg(\frac{\mu}{1+b}\bigg)^{x+a-1}e^{-\mu}\frac{d\mu}{1+b}\\
&=\frac{b^a}{x!\Gamma(a)(1+b)^{x+a}}\Gamma(x+a)\\
&=\frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x+1)\Gamma(a)}b^a(1+b)^{-x-a}\\
&=\frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x+1)\Gamma(a)}p^x(1-p)^a
\end{align*}
となります。ただし途中で \(\mu=(1+b)\lambda\) 、最後に \(b=(1-p)/p\) と変数変換しています。また \(x!=\Gamma(x+1)\) を使っています。

もし \(a\) が正の整数ならば二項係数を使って ディクセル FCRディスクローターFP(ノンスリット) VOLKSWAGEN フォルクスワーゲン GOLF VI 1KCCZ 2.0 GTI リア用、
\[r(x|a,p)=\begin{pmatrix}x+a-1\\a\end{pmatrix}\,\,p^x(1-p)^a\]
となります。その前のガンマ関数を使ったバージョンは 『フィット』 純正 GE6 GE7 GE8 GE9 GP1 GP4 フロントグリル(カラードタイプ) パーツ ホンダ純正部品 カスタム エアロパーツ FIT オプション アクセサリー 用品 、(一般には正の整数とされている)パラメータ \(a\) を実数に拡張したものといえます。

パラメータ \(a\) が実数だと通常の意味では解釈が困難になりますが CUSCO ストラットバー スープラ JZA80 クスコ ボディ補強、GLM で誤差がポアソン分布としたとき(=ポアソン回帰)に overdispersion になってしまうときは エスペリア ダウンサス デイズルークス 2WD 前期 ハイウェイスターターボ B21A H26/2~H28/11 スプリング 1台分、負の二項分布を誤差分布として \(a\) に相当するパラメータ[2]を調整することで overdispersion を回避することができます(このへんの話はいつか書きたいですね)。こういうケースでは実数で定義されていると便利なんですね。

以上でおしまいです。こういう~分布と~分布を混合すると~分布になる、みたいな話を時間のあるときにまとめていこうと思います。


  1. [1] 英語では mixture distribution とか compound distribution とか言ったりするらしい。
  2. [2] 実際には GLM のときはパラメトリゼーションが違うからこの言い方は厳密ではないのだけど。

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